Bài toán: Dựng hình vuông ABCD biết điểm A và hai điểm M ∈ BC, N ∈ CD

LỜI GIẢI

Giả sử ta đã dựng được hình vuông ABCD theo yêu cầu, ta nối các điểm A, M và N. Hãy nhìn vào hình H1, ta có thể rút ra các nhận xét:

1) ∠BCD = π/2 => ∠MCN = π/2, mà M, N đã biết. Như vậy đỉnh C thuộc đường tròn C1 đường kính MN và ở khác phía với đỉnh A so với đường thẳng MN.

2) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AN cắt CB kéo dài tại P, xét các tam giác ADN và ABP: AB = AD, ∠ADN = ∠ABP =  π/2; ∠DAN = ∠BAP =>  ∆ADN = ∆ABP => AP = AN => điểm P xác định. Mà góc NCP vuông => C thuộc đường tròn C2 đường kính NP (khác phía với A so với đường thẳng MN)

3) ∠MAN ≤ BAD = π/2

H1

Từ các phân tích trên đây ta có cách xác định điểm C và hình vuông ABCD như sau:

Bước 1: Nối M với N, dựng đường tròn C1 đường kính MN (dễ dàng thực hiện với các kỹ năng dựng hình cơ bản)

Bước 2: Nối A với N và dựng đường thẳng vuông góc với AN tại A, lấy điểm P cùng phía với điểm M (so với đường thẳng AN) sao cho AP = AN.

Bước 3: Kẻ đường thẳng d1 đi qua P và M, cắt đường tròn C1 tại C (khác điểm M), kẻ các đường thẳng d2 qua C và N. Từ A kẻ các đường thẳng vuông góc với d1, d2 tương ứng tại B và D.

ABCD là hình vuông cần dựng (xem hình H2)

H2

Chứng minh: Theo cách dựng, bốn góc của tứ giác ABCD đều vuông => ABCD là hình chữ nhật (*). Xét các tam giác ADN và ABP: AN = AP (cách dựng), ADN = ∠ABP = π/2; ∠DAN = BAP =>  ∆ADN = ∆ABP => AD = AB (**). Từ (*) và (**) ta có ABCD là hình vuông.

Biện luận: 

a) Bài toán sẽ không có nghiệm hình nếu Rõ ràng ∠MAN > π/2 (1*) hoặc điểm C nằm cùng phía với A so với đường thẳng MN (bao gồm trường hợp C ≡ M (2*). (2*) xảy ra khi AP ≧ AP' với P' = AP ⋂ NM <=> ANM = ANP' ≦ ANP = π/4 hoặc ∠AMN ≦ π/4 (xem hình H3).

b) Trong các trường hợp còn lại bài toán có một nghiệm duy nhất.

H3

31.1.2014

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone