Bài toán dựng hình (3)

Trên mặt phẳng, cho ∠xOy, hai điểm A, B và đoạn thẳng DE. Hãy dựng ∆ABC sao cho ∠ACB = ∠xOy và BC = DE. 

LỜI GIẢI

Giả sử ta đã dựng được tam giác ABC. Vì hai đỉnh A, B cho trước nên chủ cần xác định đỉnh C. Theo đề bài góc ACB bằng góc xOy không đổi và BC = DE xác định. Ta có đỉnh C là giao điểm của hai đường tròn C1 (B, r1 = DE) và C2 trong đó C2 là cung tròn bao gồm các điểm C' sao cho  ∠AC'B = ∠xOy. Đường tròn C1 đã xác định, bài toán quy về việc dựng đường tròn C2.

Giả sử K là điểm bất kỳ thuộc C2, khi đó ∠AKB = ∠xOy và ∠AKO + ∠KAB + ∠KBA = 2π => ∠ΑΚΒ + ∠ΚΒΑ < 2π. Từ đó ta có cách dựng đường tròn C2 và tam giác ABC như sau:

1) Kẻ đường thẳng d bất kỳ qua điểm B, điểm I bất kỳ, I ∈ d (IBA + xOy < 2π)
2) Dựng ∠BIJ = ∠xOy, với J ∈ AB
3) Qua điểm A dựng đường thẳng song song với JI, cắt d tại K => ∠AKB = ∠JIB = ∠xOy
4) Dựng đường tròn C2 ngoại tiếp ∆AKB, C2 cắt C1 tại điểm C. ∆ABC là tam giác cần dựng!

Chứng minh: Từ cách dựng trên dễ dàng chứng minh được là ∠ACB = ∠AKB = ∠JIB = ∠xOy và BC = DE.

Biện luận:  Gọi V là tâm, r2 là bán kính của C2, ta có r2 = (AB/2) / sin(xOy) và các trường hợp: (a) r2 < (DE/2) bài toán không có nghiệm hình; (b) r2 = DE/2 bài toán có 1 nghiệm hình; (c) r2 > (DE/2) bài toán có 2 nghiệm phân biệt.

30.1.2014

Khúc Trung Kiên

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone