Bài toán & lời giải: Cho ∆ABC, ∠BAC = 90°, AC = 3AB ... (lớp 7)

Bài toán: Cho ∆ABC, ∠BAC = 90°, AC = 3AB. Trên cạnh AC lấy 2 điểm D, E sao cho AD = DE = EC. Hãy tìm tổng các góc BDA, BEA, BCA! (∠ADA + ∠BEA + ∠BCA = ?)

Hình 1

Cách giải 1: (Sử dụng thuần tuý kiến thức hình học lớp 7)

Hình 2

Dựng hình vuông ADFG trên phía đối diện với đỉnh B qua AC, ta có G ∈ AC. Nối F với B, D, C và nối B với D, E ta có hình 1. Trên hình vẽ ta có thể dễ dàng có các hệ quả sau:

a) ∆BGF = ∆EAB = ∆CDF => BF = BE = CF và ∠GBF = ∠BEA = ∠FCD
b) ∆BDF = ∆BDE (BD chung, BF = BE, DF = DE) => ∠BEA = ∠BFD = ∠GBF = ∠DCF
c) ∆BFC vuông cân tại F
d) ∠BDA = 45°

Từ đó suy ra ∠BCF = 45° và ∠BEA + ∠BCA = ∠FCA + BCA = ∠BCF = 45°
Từ đó ta có: ∠BDA + ∠BEA + ∠BCA = 90° (tổng cần tìm)

Cách giải 2: (Sử dụng tam giác đồng dạng, cách này sử dụng kiến thức cao hơn lớp 7)

Đặt AB = a, sử dụng định lý Pi-ta-go ta có thể tính được các đoạn thẳng BD, BE, BC từ đó suy ra ∆BDE ∾ ∆CDB => ∠DBE = BCA => ∠BCA + ∠BED = ∠DBE + ∠BEA = ∠BDA = 45°.
=> Ta có: ∠BDA + ∠BEA + ∠BCA = 90° 

4.2.2014

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone