Bài toán Napoleon - ma thuật của những đường tròn

Napoleon Bonaparte (1769-1821) không chỉ được biết đến là nhà quân sự lỗi lạc, Hoàng đế của nước Pháp (1804-1814), ông còn là một nhà toán học nghiệp dư tài năng. Bài toán nổi tiếng: "chỉ dùng compa, không dùng thước kẻ để xác định tâm của đường tròn cho trước"  được gọi là "Bài toán Napoleon":

Bài toán Napoleon: Chỉ dùng compa, không dùng thước kẻ để xác định tâm của đường tròn

Phát biểu bài toán thì đơn giản, nhưng lời giải cho bài toán thì thật kỳ lạ, có thể gọi là "ma thuật của những đường tròn", một hình vẽ đẹp và lý thú:

Hình 2: Lời giải cho bài toán Napoleon

Bạn đã giải bài toán nào mà vẽ tới 7 đường tròn trong khi không có một đường thẳng, đoạn thẳng hay tam giác nào chưa? Tôi thì chưa! Hình 2 mô tả lời giải cho bài toán, có thể thực hiện theo các bước sau:

1) Ký hiệu đường tròn cho trước là C1, lấy điểm A bất kỳ trên đường tròn đó và vẽ đường tròn C2 có tâm A, cắt C1 tại các điểm B và C.

2) Lấy B và C làm tâm vẽ 2 đường tròn C3, C4 bán kính AB = AC, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm A và D ≢ A. Lấy D làm tâm vẽ đường tròn C5, bán kính DA, cắt đường tròn C2 tại 2 điểm E và F.

3) Lấy E và F làm tâm, vẽ 2 đường tròn C6, C7 bán kính EA = FA. Hai đường tròn C6, C7 cắt nhau tại 2 điểm: A và điểm O ≢ A, điểm O này chính là tâm của đường tròn C1!!!

Đúng là ma thuật phải không? Để chứng minh điểm O đúng là tâm của C1 theo cách dựng trên, trước hết ta chứng minh một bổ đề liên quan (không phải bổ đề cơ bản Langlands! :)), phát biểu như sau:

Bổ đề: Cho đường trong (C), tâm O, bán kính OB = OC = OA = a.  Các điểm A, B, C thuộc đường tròn sao cho AB = AC (xem hình 3), điểm D trên bán kính OA sao cho DB = DC = AB = AC = b. Khi đó ta có AD = a * a / b.

Hình 3: Bổ đề

Ta có thể chứng minh bổ đề khá dễ dàng bằng cách kéo dài AO, cắt (C) tại E. Và xét 2 tam giác đồng dạng EBA và BHA, từ đó có kết quả cần chứng minh.

Trở lại với hình vẽ 2, ta nhận thấy:

•  Các điểm A, O, D là thẳng hàng
•  AB = AC = DB = DC và OE = OF = AE = AF

Từ đó áp dụng bổ đề cho 2 trường hợp sau, gọi O' là tâm cần xác định của đường tròn C1,  BD = AB = R, O'A = O'B = O'C = r:


1) Đường tròn C1 và các điểm A, B, C, D: khi đó ta có AD  =  R * R / r
2) Đường tròn C5 và các điểm A, E, F, O: khi đó ta có AO =  R * R / AE = R * R / AD

Mà AE = AB = r nên ta có: AO = R * R / (R * R / r) = r = AO' => AO = AO', ngoài ra hiển nhiên là A, O, O', D thẳng hàng => O ≢ O' hay O = C6 ∩ C7 chính là tâm của đường tròn C1 (đpcm).

Nguồn tham khảo: wikipedia.org

7.2.2014

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone