Bài toán: Dựng hình vuông ABCD biết điểm A và hai điểm M ∈ BC, N ∈ CD

LỜI GIẢI

Giả sử ta đã dựng được hình vuông ABCD theo yêu cầu, ta nối các điểm A, M và N. Hãy nhìn vào hình H1, ta có thể rút ra các nhận xét:

1) ∠BCD = π/2 => ∠MCN = π/2, mà M, N đã biết. Như vậy đỉnh C thuộc đường tròn C1 đường kính MN và ở khác phía với đỉnh A so với đường thẳng MN.

2) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AN cắt CB kéo dài tại P, xét các tam giác ADN và ABP: AB = AD, ∠ADN = ∠ABP =  π/2; ∠DAN = ∠BAP =>  ∆ADN = ∆ABP => AP = AN => điểm P xác định. Mà góc NCP vuông => C thuộc đường tròn C2 đường kính NP (khác phía với A so với đường thẳng MN)

3) ∠MAN ≤ BAD = π/2

H1

Từ các phân tích trên đây ta có cách xác định điểm C và hình vuông ABCD như sau:

Bước 1: Nối M với N, dựng đường tròn C1 đường kính MN (dễ dàng thực hiện với các kỹ năng dựng hình cơ bản)

Bước 2: Nối A với N và dựng đường thẳng vuông góc với AN tại A, lấy điểm P cùng phía với điểm M (so với đường thẳng AN) sao cho AP = AN.

Bước 3: Kẻ đường thẳng d1 đi qua P và M, cắt đường tròn C1 tại C (khác điểm M), kẻ các đường thẳng d2 qua C và N. Từ A kẻ các đường thẳng vuông góc với d1, d2 tương ứng tại B và D.

ABCD là hình vuông cần dựng (xem hình H2)

H2

Chứng minh: Theo cách dựng, bốn góc của tứ giác ABCD đều vuông => ABCD là hình chữ nhật (*). Xét các tam giác ADN và ABP: AN = AP (cách dựng), ADN = ∠ABP = π/2; ∠DAN = BAP =>  ∆ADN = ∆ABP => AD = AB (**). Từ (*) và (**) ta có ABCD là hình vuông.

Biện luận: 

a) Bài toán sẽ không có nghiệm hình nếu Rõ ràng ∠MAN > π/2 (1*) hoặc điểm C nằm cùng phía với A so với đường thẳng MN (bao gồm trường hợp C ≡ M (2*). (2*) xảy ra khi AP ≧ AP' với P' = AP ⋂ NM <=> ANM = ANP' ≦ ANP = π/4 hoặc ∠AMN ≦ π/4 (xem hình H3).

b) Trong các trường hợp còn lại bài toán có một nghiệm duy nhất.

H3

31.1.2014

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone

Bài toán dựng hình (3)

Trên mặt phẳng, cho ∠xOy, hai điểm A, B và đoạn thẳng DE. Hãy dựng ∆ABC sao cho ∠ACB = ∠xOy và BC = DE. 

LỜI GIẢI

Giả sử ta đã dựng được tam giác ABC. Vì hai đỉnh A, B cho trước nên chủ cần xác định đỉnh C. Theo đề bài góc ACB bằng góc xOy không đổi và BC = DE xác định. Ta có đỉnh C là giao điểm của hai đường tròn C1 (B, r1 = DE) và C2 trong đó C2 là cung tròn bao gồm các điểm C' sao cho  ∠AC'B = ∠xOy. Đường tròn C1 đã xác định, bài toán quy về việc dựng đường tròn C2.

Giả sử K là điểm bất kỳ thuộc C2, khi đó ∠AKB = ∠xOy và ∠AKO + ∠KAB + ∠KBA = 2π => ∠ΑΚΒ + ∠ΚΒΑ < 2π. Từ đó ta có cách dựng đường tròn C2 và tam giác ABC như sau:

1) Kẻ đường thẳng d bất kỳ qua điểm B, điểm I bất kỳ, I ∈ d (IBA + xOy < 2π)
2) Dựng ∠BIJ = ∠xOy, với J ∈ AB
3) Qua điểm A dựng đường thẳng song song với JI, cắt d tại K => ∠AKB = ∠JIB = ∠xOy
4) Dựng đường tròn C2 ngoại tiếp ∆AKB, C2 cắt C1 tại điểm C. ∆ABC là tam giác cần dựng!

Chứng minh: Từ cách dựng trên dễ dàng chứng minh được là ∠ACB = ∠AKB = ∠JIB = ∠xOy và BC = DE.

Biện luận:  Gọi V là tâm, r2 là bán kính của C2, ta có r2 = (AB/2) / sin(xOy) và các trường hợp: (a) r2 < (DE/2) bài toán không có nghiệm hình; (b) r2 = DE/2 bài toán có 1 nghiệm hình; (c) r2 > (DE/2) bài toán có 2 nghiệm phân biệt.

30.1.2014

Khúc Trung Kiên

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone

HÌNH HỌC PHẲNG: Kỹ thuật dựng hình (2)

Việc cần làm sau khi đi bước đầu tiên là: bước tiếp bước thứ 2!

(6) Dựng đường thẳng song song với đường thẳng d và đi qua điểm A cho trước

Cách dựng: Hạ đường AH ⊥ d, và dựng đường thẳng e ⊥ AH tại A, e sẽ là đường thẳng đi qua A và e // d!

(7) Dựng đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng

Cách dựng: Vẽ đường trung trực của BC và AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại O. Đường tròn tâm O, bán kính OA là đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C (hay là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC).

(8) Dựng đường tròn nội tiếp ∆ABC cho trước

Cách dựng: Vẽ 2 đường phân giác của góc BAC và góc ABC. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Hạ IJ ⊥ BC, J thuộc BC. Đường tròn tâm I, bán kính IJ là đường tròn nội tiếp ∆ABC (đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác tại cái điểm thuộc 3 cạnh đó)

(9) Dựng đường thẳng d đi qua điểm A của đoạn thẳng AB cho trước và tạo với AB một góc bằng góc xOy cho trước

Cách dựng: Vẽ đường tròn tâm O, bán kính r bất kỳ cắt các cạnh Ox, Oy lần lượt tại P và Q. Từ A vẽ đường tròn tâm A, bán kính r, cắt AB tại điểm R (AR = OP = OQ = r). Lấy R làm tâm vẽ đường tròn bán kính PQ, cắt đường tròn tâm A tại điểm S. Đường thẳng đi qua A, S là đường thẳng phải dựng.

(10) Dựng hình bình hành ABCD với cạnh BC cho trước, độ dài AB = a, ∠ABC = ∠xOy cho trước

Cách dựng: Vẽ đường thẳng đi qua B và tạo với BC một góc bằng góc xOy, đường thẳng này cắt đường tròn tâm B, bán kính a tại điểm A. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính BC và đường tròn tâm C bán kính a, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm D (khác với điểm B). ABCD chính là hình bình hành cần dựng.

27.1.2014

Khúc Trung Kiên

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone

HÌNH HỌC PHẲNG: Kỹ thuật dựng hình (1)

"Con đường ngàn dặm được bắt đầu từ những bước đi chập chững đầu tiên"

Các kỹ thuật dựng hình (vẽ hình) cơ bản bằng thước kẻ và compa khá đơn giản. Chỉ khi bạn đã nắm vững và sử dụng thành thục các kỹ thuật này, bạn mới có thể dựng các hình vẽ hình học phức tạp hơn một cách chính xác, khoa học và sáng sủa.

(1) Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB cho trước

Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đã cho tại trung điểm của nó. Để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB ta chỉ cần lấy A, B làm tâm và vẽ 2 đường tròn có bán kính bằng nhau R (R > AB/2). Hai đường tròn này cắt nhau tại 2 điểmđiểm I, K. Đường thẳng đi qua 2 điểm I, K là đường trung trực của AB.

(2) Dựng đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d cho trước

Để dựng đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d ta vẽ đường tròn tâm A, bán đi qua điểm B trên d, đường tròn này cắt d tại 2 điểm B, C. Lấy B, C làm tâm vẽ 2 đường tròn bán kính R = AB. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm A và D. Đường thẳng AD chính là đường phải dựng (AD vuông góc với d).

(3) Dựng đường phân giác của góc xAy cho trước

Cách dựng: Lấy điểm A làm tâm, vẽ đường tròn bán kính R bất kỳ (R1 > 0) cắt Ax tại I, Ay tại J. Lấy điểm  I, J làm tâm dựng 2 đường tròn bán kính bằng nhau và bằng R2 đủ lớn để 2 đường này giao nhau. Gọi K là giao điểm của 2 đường tròn tâm I, J như trên. Khi đó, đường thẳng từ A đi qua K chính là phân giác của góc xAy.

(4) Dựng đường tiếp tuyến với đường tròn tâm O từ điểm A ở ngoài đường tròn.

Cách dựng: Vẽ đường tròn đường kính AO, cắt đường tròn tâm O tại 2 điểm P, Q. Các đường thẳng AP và AQ chính là 2 đường tiếp tuyến từ điểm A đến đường tròn.

(5) Chia ba một đoạn thẳng

BÀI TOÁN: Từ điểm O ở ngoài đoạn thẳng AB, hãy dựng 2 tia OM, ON (M, N thuộc AB) chia AB thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.

Cách dựng: Từ điểm O vẽ đường tròn bán kính AO cắt đường thẳng AO tại điểm P khác A, từ P vẽ đường tròn bán kính PO cắt đường thẳng AO tại điểm Q khác O. Nối Q với B, qua O, P kẻ các đường thẳng // QB, cắt AB tại M, N. Các tia OM, ON chính là các tia cần dựng.

27.1.2014

Khúc Trung Kiên

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone

HÌNH HỌC PHẲNG: TRÍ TƯỞNG TƯỢNG TOÁN HỌC

Toán học là khoa học chính xác của trí tưởng tượng và cái đẹp! Không nhất thiết phải trở thành học sinh giỏi toán hay trở thành nhà toán học mới cần quan tâm hay cảm nhận điều đó. Một ví dụ đơn giản khi vẽ hình thang ABCD (AB//CD):

H1: Hình vẽ trên giấy/bảng

Nhìn vào đây bạn sẽ thấy điều gì? Một hình vẽ khá đơn giản. Thế nhưng khi học toán thì trong đầu bạn sẽ có ít nhất các hình dung sau đây:

1) Hai đường chéo AC và BD và điểm O là giao điểm của AC và BD
2) Các đường cao AH, BI, CJ, DK
3) Trung điểm M của AD, N của BC, R của AB, S của CD
4) Đường trung bình MN
5) Giao điểm P của hai cạnh bên AD và BC

H2: Hình vẽ trong trí tưởng tượng khi nhìn vào hình H1

Nếu thêm một yếu tố, chẳng hạn ABCD là hình thang cân. Khi đó trong hình dung của bạn sẽ có thêm đường tròn ngoại tiếp hình thang và tâm của nó! Chưa kể các quan hệ logics giữa các yếu tố đó:

a) Diện tích hình thang = (AB+CD) x AH / 2
b) MN = (AB + CD)/2
c) AH = BI = CJ = DK

d) Bạn có nghĩ là P, R, O, S thẳng hàng?

Khá ấn tượng phải không? Việc học toán, giải toán ở trường phổ thông với yêu cầu bình thường nếu được quan tâm đúng mức có thể giúp phát triển trí tưởng tượng phong phú một cách tự nhiên!

25.1.2014

Khúc Trung Kiên

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone

HÌNH HỌC PHẲNG: DỰNG HÌNH

Vẽ hình (hay dựng hình) là kỹ năng cơ bản để học và giải các bài toán hình học. Thông thường khi đã vẽ xong hình một cách chính xác và sáng sủa, bạn đã hoàn thành > 50% bài toán. 

Học sinh thường được yêu cầu làm nhiều bài tập nhưng ít khi được rèn luyện để thành thục những kỹ năng rất cơ bản mà nếu thiếu thì rất khó để có thể vẽ hình tốt:

- Thế nào là một hình vẽ tốt?
- Xác định một điểm trong mặt phẳng
- Vẽ một đoạn thẳng trên mặt phẳng
- Dựng một đường thẳng
- Dựng một tam giác
- Dựng một đường tròn
- Dựng các hình hình học khác
- Các nguyên tắc cơ bản cần tuân thủ

Trong loạt bài này tôi sẽ trình bày kinh nghiệm của mình về các vấn đề nêu trên, đồng thời hướng dẫn sử dụng công cụ "Plane Geometry Drawer" để minh hoạ. Mọi ý kiến góp ý đều được hoan nghênh và nghiên cứu tiếp thu.

Màn hình chính của ứng dụng "Plane Geometry Drawer"

25.1.2014

Khúc Trung Kiên

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone