Tools News: "Plane Geometry Drawer" phiên bản 1.2

Cài đặt miễn phí (iOS7): FREE Download

Ứng dụng vẽ hình học trên iPhone mới được cập nhật phiên bản mới 1.2, so với các phiên bản trước, nhiều tính năng và tiện ích đã được bổ sung giúp sử dụng nhanh, chính xác, dễ dàng và hiệu quả hơn. Các bổ sung chủ yếu của phiên bản này là: 

Bổ sung công cụ lựa chọn đối tượng làm việc:  Việc lựa chọn đối tượng nào đó trên hình vẽ là một thao tác thường xuyên. Ví dụ: chọn điểm A để kẻ đường cao AH, chọn đoạn BC để lấy trung điểm M,... Các phiên bản trước đã có công cụ cho việc đó, tuy nhiên khi đối tượng cần lựa chọn quá gần với các đối tượng khác thì việc đó trở nên khó khăn. Ví dụ: rất khó để chọn góc IAH trong hình vẽ dưới đây vì xung quanh điểm A có nhiều góc gần nhau. Phiên bản mới giải quyết vấn đề này bằng cách bổ sung một công cụ "bí ẩn": vòng tròn đỏ ở góc trên bên trái vùng để vẽ của màn hình (hình dưới). 

Plane Geometry Drawer: v1.2 - công cụ lựa chọn đối tượng làm việc

Công cụ xuất hiện khi người sử dụng bấm vào gần một điểm bất kỳ trong hình vẽ. Để tránh nhầm lẫn, công cụ phân biệt riêng cho từng loại đối tượng: điểm, đường, góc, tam giác, đường tròn. Bấm đơn với vòng tròn đỏ để đổi loại, khi đó hình vẽ trong vòng tròn sẽ thay đổi tương ứng (trong hình vẽ trên là chế độ chọn góc). Khi công cụ xuất hiện và chế độ lựa chọn phù hợp thì có thể lựa chọn đối tượng bằng cách di chuyển ngón tay trên màn hình từ một điểm bất kỳ để di chuyển công cụ đến vùng cần thiết:

Plane Geometry Drawer: v1.2 - chọn góc OAC

Cài đặt miễn phí (iOS7): FREE Download

- Để chọn điểm: chuyển đến gần điểm cần chọn
- Để chọn đoạn thẳng: chuyển đến vùng gần trung điểm của đoạn thẳng

- Để chọn góc từ điểm đã chọn: chuyển đến gần điểm giữa của hai điểm thuộc 2 cạnh của góc

- Để chọn tam giác từ điểm đã chọn: chuyển đến gần trung điểm cạnh đối diện

- Để chọn đường tròn: chuyển đến gần điểm bất kỳ thuộc đường tròn cần chọn 

Plane Geometry Drawer: v1.2 - chọn đoạn thẳng OH

Công cụ đánh dấu góc vuông hoặc sự bằng nhau/khác nhau của đoạn thẳng hoặc góc: đây cũng là thao tác thường xuyên khi vẽ hình hình học (tính năng này chỉ có ở phiên bản PRO). Như hình vẽ ví dụ dưới đây:

Plane Geometry Drawer: v1.2 - đánh dấu các đoạn thẳng/góc bằng nhau/khác nhau hoặc dấu góc vuông

Khi một góc hoặc một đoạn thẳng được lựa chọn, bộ công cụ sẽ xuất hiện ở vùng bên phải của màn hình và người sử dụng chỉ cần chọn dấu phù hợp cho đối tượng đó nếu cần. Nếu muốn xoá dấu đã đánh có thể lựa chọn góc liên quan hoặc bấm vào dấu của đoạn thẳng để lựa chọn. Sau đó bấm vào biểu tượng xoá ở góc trên, bên phải màn hình.

Plane Geometry Drawer: v1.2 - bấm vào dấu (x) đã có của đoạn AB sau đó bấm nút xoá

Các bổ sung và tiện ích khác: ngoài ra còn những bổ sung và tiện ích nhỏ khác như bổ sung ký hiệu (°) cho bàn phím soạn thảo, hoặc sau khi lựa chọn đoạn thẳng giữa 2 điểm chưa nối với nhau thì chỉ cần kéo kỳ hiệu kiểu đoạn thẳng vào vùng vẽ và thả ra, hai điểm sẽ tự động nối bằng đường ngắt quãng,...

Cài đặt miễn phí (iOS7): FREE Download

21.2.2014

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone

Yêu cầu khi vẽ hình hình học: Tính khoa học

Tính khoa học trong việc vẽ hình hình học? Chủ đề này hơi khó hiểu một chút và để cho sự việc trở nên đơn giản hơn ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể.

Ví dụ: Cho  ΔABC, đường cao AH, trung tuyến AM (H và M thuộc BC).

Quá đơn giản phải không? Vậy ta sẽ vẽ hình như thế nào? Ta có thể vẽ như dưới đây:

Hình 1: Tam giác ABC, đường cao AH, trung tuyến AM

Hình vẽ hoàn toàn chính xác và không có gì mâu thuẫn với dữ kiện ban đầu. Vấn đề ở đây là điểm M và điểm H quá gần nhau, sẽ dẫn đến việc khó phân biệt chúng và hai đường AH, AM khiến cho hình vẽ đơn giản trở thành khó nhận biết.

Nếu tiếp theo đó, lại cần xác định thêm trọng tâm và trực tâm của ΔABC nữa thì sao? Trường hợp này ta có thể nói hình 1 là "không khoa học". Nói chung, sẽ tốt hơn rất nhiều nếu vẽ như hình 2:

Hình 2: Tam giác ABC, đường cao AH, trung tuyến AM

Tương tự cũng có thể nhận thấy rằng vẽ như hình 3 hoặc hình 4 dưới đây cũng là không khoa học (trừ những trường hợp buộc phải vẽ như thế do các yếu tố/ràng buộc khác):

Hình 2: Tam giác ABC, đường cao AH, trung tuyến AM

Hình 2: Tam giác ABC, đường cao AH, trung tuyến AM

Vậy để vẽ hình một cách khoa học, ta phải lưu ý điều gì? Các gợi ý sau đây có thể hữu ích và bạn nên áp dụng khi bắt đầu vẽ hình (nếu không bị ràng buộc bởi các dữ kiện khác):

1) Khi vẽ các góc hay tam giác, lưu ý không vẽ góc gần với các giá trị đặc biệt như: 30°, 60°, 45°, 90°, 120°, 180°,...

2) Các cạnh của tam giác, hình bình hành, hình chữ nhật không nên vẽ gần bằng nhau. Ví dụ nếu vẽ hình chữ nhật ABCD thì độ dài của AB và BC không nên gần nhau và cũng không nên gấp đôi nhau!

3) Nếu vẽ hình thang, hay tam giác thì không nên vẽ cân nhau. Hai cạnh bên của hình thang bình thường nên khác nhau cỡ 1/3. Ví dụ cho hình thang ABCD, AB//CD thì có thể vẽ cạnh BC = khoảng 2/3 DA hoặc 4/3 DA.

4) Sử dụng các đường liền hay đường ngắt quãng một cách hợp lý. Ví dụ nếu 2 cạnh của một tam giác đã là đường liền thì cạnh thứ 3 cũng nên là đường liền. Hoặc khi đã có nhiều đường liền nhau hội tụ tại 1 điểm thì nếu cần vẽ thêm đường mới đường đó nên là ngắt quãng,...

Còn có thể có nhiều điểm cần chú ý khác, nhưng những điểm trên đã hỗ trợ rất nhiều. Quan trọng nhất là hình vẽ phải dễ đọc, dễ hiểu và làm nổi bật các dữ kiện đã có cũng như quan hệ giữa chúng.

9.2.2014

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone

Bài toán Napoleon - ma thuật của những đường tròn

Napoleon Bonaparte (1769-1821) không chỉ được biết đến là nhà quân sự lỗi lạc, Hoàng đế của nước Pháp (1804-1814), ông còn là một nhà toán học nghiệp dư tài năng. Bài toán nổi tiếng: "chỉ dùng compa, không dùng thước kẻ để xác định tâm của đường tròn cho trước"  được gọi là "Bài toán Napoleon":

Bài toán Napoleon: Chỉ dùng compa, không dùng thước kẻ để xác định tâm của đường tròn

Phát biểu bài toán thì đơn giản, nhưng lời giải cho bài toán thì thật kỳ lạ, có thể gọi là "ma thuật của những đường tròn", một hình vẽ đẹp và lý thú:

Hình 2: Lời giải cho bài toán Napoleon

Bạn đã giải bài toán nào mà vẽ tới 7 đường tròn trong khi không có một đường thẳng, đoạn thẳng hay tam giác nào chưa? Tôi thì chưa! Hình 2 mô tả lời giải cho bài toán, có thể thực hiện theo các bước sau:

1) Ký hiệu đường tròn cho trước là C1, lấy điểm A bất kỳ trên đường tròn đó và vẽ đường tròn C2 có tâm A, cắt C1 tại các điểm B và C.

2) Lấy B và C làm tâm vẽ 2 đường tròn C3, C4 bán kính AB = AC, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm A và D ≢ A. Lấy D làm tâm vẽ đường tròn C5, bán kính DA, cắt đường tròn C2 tại 2 điểm E và F.

3) Lấy E và F làm tâm, vẽ 2 đường tròn C6, C7 bán kính EA = FA. Hai đường tròn C6, C7 cắt nhau tại 2 điểm: A và điểm O ≢ A, điểm O này chính là tâm của đường tròn C1!!!

Đúng là ma thuật phải không? Để chứng minh điểm O đúng là tâm của C1 theo cách dựng trên, trước hết ta chứng minh một bổ đề liên quan (không phải bổ đề cơ bản Langlands! :)), phát biểu như sau:

Bổ đề: Cho đường trong (C), tâm O, bán kính OB = OC = OA = a.  Các điểm A, B, C thuộc đường tròn sao cho AB = AC (xem hình 3), điểm D trên bán kính OA sao cho DB = DC = AB = AC = b. Khi đó ta có AD = a * a / b.

Hình 3: Bổ đề

Ta có thể chứng minh bổ đề khá dễ dàng bằng cách kéo dài AO, cắt (C) tại E. Và xét 2 tam giác đồng dạng EBA và BHA, từ đó có kết quả cần chứng minh.

Trở lại với hình vẽ 2, ta nhận thấy:

•  Các điểm A, O, D là thẳng hàng
•  AB = AC = DB = DC và OE = OF = AE = AF

Từ đó áp dụng bổ đề cho 2 trường hợp sau, gọi O' là tâm cần xác định của đường tròn C1,  BD = AB = R, O'A = O'B = O'C = r:


1) Đường tròn C1 và các điểm A, B, C, D: khi đó ta có AD  =  R * R / r
2) Đường tròn C5 và các điểm A, E, F, O: khi đó ta có AO =  R * R / AE = R * R / AD

Mà AE = AB = r nên ta có: AO = R * R / (R * R / r) = r = AO' => AO = AO', ngoài ra hiển nhiên là A, O, O', D thẳng hàng => O ≢ O' hay O = C6 ∩ C7 chính là tâm của đường tròn C1 (đpcm).

Nguồn tham khảo: wikipedia.org

7.2.2014

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone

Yêu cầu vẽ hình hình học: tính chính xác

Bài liên quan:

Hình học phẳng: Các yêu cầu với việc vẽ hình - tổng quan

Trong bài viết tổng quan về các yêu cầu đối với việc vẽ hình (trong hình học phẳng) đã đề cập đến các yêu cầu về tính chính xác, tính khoa học và tính thẩm mỹ. Bài viết này sẽ phân tích sâu hơn về yêu cầu đầu tiên: tính chính xác!Tính xác khi vẽ hình, đặc biệt quan trọng và thể hiện ở các điểm trọng yếu sau:

1) Các góc với giá trị đã cho như góc 90°, 60°, 45°, 30°,... cần phải được vẽ thật chính xác. Hoặc đường phân giác thì phải chia góc thành 2 phần bằng nhau,... Hãy quan sát hình vẽ H1: Giả sử có ∆ABC = ∆IJK và 2 đường AD và IL là phân giác của các góc BAC và JIK. Bạn có nhận thấy là cả 2 hình vẽ đều chính xác?

H1: AD là phân giác của góc BAC và IL là phân giác của góc JIK

Tiếp theo, vẽ 2 đường tròn C1, C2 với tâm là D và L, tiếp xúc với các cạnh của ∠BAC và ∠JIL tương ứng! Hình 2 sẽ cho thấy điều gì sẽ xảy ra:

H2: Từ D vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với AB, đường tròn tâm L tiếp xúc với IJ

C1 tiếp xúc với 2 cạnh AB và AC, trong khi đó C2 chỉ tiếp xúc với IJ và không tiếp xúc với IK! Vấn đề là ở chỗ đường phân giác IL được vẽ không chính xác (cụ thể trong trường hợp này ∠JIL < ∠LIK). Rõ ràng mặc dù nhìn vào hình H1, cả hai hình vẽ đều có vẻ là tốt, thực tế hình vẽ thứ 2 không chính xác và sẽ không thể tiếp tục bài toán như trong hình H2.

2) Tính chính xác còn thể hiện ở tương quan độ dài các đoạn thẳng. Ví dụ nếu cho ∆ABC với AC > AB thì trên hình vẽ độ dài của AC phải lớn hơn AB, nếu cho 2 đoạn thẳng bằng nhau thì trên hình vẽ độ dài của chúng phải bằng nhau. Hoặc nếu vẽ 2 đường vuông góc thì góc tạo bởi 2 đường đó trên hình vẽ phải đúng bằng 90°,.... Ví dụ: hãy quan sát hình vẽ dưới đây:

H3: cho ∆ABC, góc A = 90°

Theo bạn hình nào vẽ đúng? Hay cả 2 hình đều đúng hoặc đều sai? Ta biết rằng vì góc A vuông, nên nếu ta vẽ đường tròn đường kính BC thì đỉnh A sẽ thuộc được tròn đó. Ta có hình vẽ:

H4: cho ∆ABC, góc A = 90°, vẽ đường tròn đường kính BC....

Hình H4 cho thấy hiển nhiên hình vẽ bên dưới trong 2 hình là không chính xác. Và nếu tiếp tục vẽ tiếp thì sẽ dẫn đến hình vẽ không hợp lý. Và đó chỉ là 2 trong số rất nhiều ví dụ cho thấy nếu vẽ hình không chính xác thì không thể tiếp tục nghiên cứu hay giải bài toán hình học. Tính chính xác trong việc vẽ hình là tuyệt đối quan trọng và là yêu cầu đầu tiên!

6.2.2014

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone

Bài toán & lời giải: Cho ∆ABC, ∠BAC = 90°, AC = 3AB ... (lớp 7)

Bài toán: Cho ∆ABC, ∠BAC = 90°, AC = 3AB. Trên cạnh AC lấy 2 điểm D, E sao cho AD = DE = EC. Hãy tìm tổng các góc BDA, BEA, BCA! (∠ADA + ∠BEA + ∠BCA = ?)

Hình 1

Cách giải 1: (Sử dụng thuần tuý kiến thức hình học lớp 7)

Hình 2

Dựng hình vuông ADFG trên phía đối diện với đỉnh B qua AC, ta có G ∈ AC. Nối F với B, D, C và nối B với D, E ta có hình 1. Trên hình vẽ ta có thể dễ dàng có các hệ quả sau:

a) ∆BGF = ∆EAB = ∆CDF => BF = BE = CF và ∠GBF = ∠BEA = ∠FCD
b) ∆BDF = ∆BDE (BD chung, BF = BE, DF = DE) => ∠BEA = ∠BFD = ∠GBF = ∠DCF
c) ∆BFC vuông cân tại F
d) ∠BDA = 45°

Từ đó suy ra ∠BCF = 45° và ∠BEA + ∠BCA = ∠FCA + BCA = ∠BCF = 45°
Từ đó ta có: ∠BDA + ∠BEA + ∠BCA = 90° (tổng cần tìm)

Cách giải 2: (Sử dụng tam giác đồng dạng, cách này sử dụng kiến thức cao hơn lớp 7)

Đặt AB = a, sử dụng định lý Pi-ta-go ta có thể tính được các đoạn thẳng BD, BE, BC từ đó suy ra ∆BDE ∾ ∆CDB => ∠DBE = BCA => ∠BCA + ∠BED = ∠DBE + ∠BEA = ∠BDA = 45°.
=> Ta có: ∠BDA + ∠BEA + ∠BCA = 90° 

4.2.2014

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone

Hướng dẫn cài đặt ứng dụng

TẢI VỀ VÀ CÀI ĐẶT ỨNG DỤNG

Để cài đặt ứng dụng "Plane Geometry Drawer for iPhone" thiết bị của bạn cần được chạy trên hệ điều hành iOS phiên bản 7.0 hoặc mới hơn. Ứng dụng có phiên bản cơ sở miễn phí với hầu hết các chức năng vẽ hình cơ bản và chỉ bị giới hạn một số chức năng nâng cao.

Để sử dụng phiên bản PRO với đầy đủ tính năng của ứng dụng bạn chỉ cần bấm vào thanh "Get PRO Version" (trong phiên bản hiện tại là thanh "Upgrade") để thanh toán và khởi động các chức năng nâng cao. Phiên bản PRO có giá khuyến mãi chỉ $0.99 trong thời gian giới hạn (trước ngày 01.04.2014).

Để cài đặt MIỄN PHÍ ứng dụng với phiên bản cơ sở, bạn chỉ cần bấm vào đây để tải về và cài đặt vào thiết bị của bạn: Download

Hình học phẳng: Các yêu cầu với việc vẽ hình - tổng quan

Hình vẽ tốt giúp ích nhiều cho việc học, giải toán hay nghiên cứu. Đối với việc giải toán hình học phẳng, vẽ xong hình là đã giải quyết được hơn 50% bài toán. Những lợi ích chính của một hình vẽ tốt gồm:

1) Mô tả yêu cầu: Hình vẽ tốt mô tả chính xác các yếu tố ban đầu và các mối quan hệ toán học giữa chúng, làm nổi bật các logics toán học để giúp tìm ra lời giải của bài.

2) Hỗ trợ sáng tạo: dễ dàng hơn trong việc hình dung, phân tích, liên hệ các yếu tố cho trước với các đối tượng mới.

3) Tạo tính hấp dẫn: toán học luôn tiềm ẩn vẻ đẹp của trí tuệ. Một hình vẽ tốt sẽ giúp cho bài làm, bài viết trở nên hấp dẫn hơn với người đọc. Điều này rất quan trọng, dù bạn làm bài thi hay một báo cáo khoa học.

Vậy một hình vẽ tốt phải đáp ứng các yêu cầu gì? Sau đây là một số yêu cầu cơ bản:

1) Tính chính xác (xem chi tiết)

2) Tính khoa học

3) Tính thẩm mỹ

Bài toán ví dụ: Cho ∆ABC, trọng tâm G và đường thẳng d quay quanh G, cắt cạnh AB tại M, cạnh AC tại N. Chứng minh rằng: không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của đường thẳng d, ta luôn có:

1) AB/AM + AC/AN = 3

2) BM/AM + CN/AN = 1

Hình vẽ cho bài toán

Nhận xét: Từ hình vẽ trên cùng với một số biến đổi áp dụng định lý Ta-let và tính chất của trọng tâm tam giác, không khó để có lời giải cho bài toán nêu trên.

Các bài viết tiếp theo sẽ lần lượt phân tích kỹ hơn các yêu trên đây cũng như hướng dẫn các nguyên tắc cơ bản để giúp rèn luyện các kỹ năng vẽ hình. Tất nhiên đó chỉ là các yêu cầu cơ bản nhất, cần đường áp dụng trong hầu hết các trường hợp thực tiễn.

2.2.2014

Geometry Drawer on Facebook

Plane Geometry Drawer for iPhone